Espace de Lorentz

L'espace de Lorentz sur un espace mesurable ${\displaystyle (X,\mu )}$ est défini l'espace des fonctions mesurables à valeurs complexes ${\displaystyle f}$ sur ${\displaystyle X}$ tel que la quasinorme suivante soit finie

${\displaystyle \|f\|_{L^{p,q}(X,\mu )}=p^{\frac {1}{q}}\left\|t\mu \{|f|\geq t\}^{\frac {1}{p}}\right\|_{L^{q}\left(\mathbf {R} ^{+},{\frac {dt}{t}}\right)}}$

où ${\displaystyle 0<p<\infty }$ et ${\displaystyle 0<q\leq \infty }$ . Ainsi, lorsque ${\displaystyle q<\infty }$

${\displaystyle \|f\|_{L^{p,q}(X,\mu )}=p^{\frac {1}{q}}\left(\int _{0}^{\infty }t^{q}\mu \left\{x:|f(x)|\geq t\right\}^{\frac {q}{p}}\,{\frac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}=\left(\int _{0}^{\infty }{\bigl (}\tau \mu \left\{x:|f(x)|^{p}\geq \tau \right\}{\bigr )}^{\frac {q}{p}}\,{\frac {d\tau }{\tau }}\right)^{\frac {1}{q}}.}$

et quand ${\displaystyle q=\infty }$ ,

${\displaystyle \|f\|_{L^{p,\infty }(X,\mu )}^{p}=\sup _{t>0}\left(t^{p}\mu \left\{x:|f(x)|>t\right\}\right).}$

Il est également classique de fixer ${\displaystyle L^{\infty ,\infty }(X,\mu )=L^{\infty }(X,\mu )}$ .

La quasinorme de Lorentz est invariante par réarrangement des valeurs de la fonction ${\displaystyle f}$. En particulier, étant donné une fonction mesurable à valeurs complexes ${\displaystyle f}$ définie sur un espace mesurable, ${\displaystyle (X,\mu )}$, son réarrangement décroissant, ${\displaystyle f^{\ast }:[0,\infty [\to [0,\infty ]}$ est défini par

${\displaystyle f^{\ast }(t)=\inf\{\alpha \geq 0:\mu _{f}(\alpha )\leq t\}}$

où ${\displaystyle d_{f}}$ est la fonction de distribution de ${\displaystyle f}$, donnée par

${\displaystyle \mu _{f}(\alpha )=\mu (\{x\in X:|f(x)|>\alpha \})}$,

Les deux fonctions ${\displaystyle |f|}$ et ${\displaystyle f^{\ast }}$ sont équimesurables, c'est-à-dire que${\displaystyle \mu {\bigl (}\{x\in X:|f(x)|>\alpha \}{\bigr )}=\lambda {\bigl (}\{t>0:f^{\ast }(t)>\alpha \}{\bigr )},\quad \alpha >0,}$

où ${\displaystyle \lambda }$ est la mesure de Lebesgue sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Le réarrangement symétrique décroissant associé, qui est également équimesurable avec ${\displaystyle f}$, est défini par ${\displaystyle \mathbb {R} \ni t\mapsto {\tfrac {1}{2}}f^{\ast }(|t|).}$

Compte tenu de ces définitions, pour ${\displaystyle 0<p<\infty }$ et ${\displaystyle 0<q\leq \infty }$, les quasinormes de Lorentz sont données par

${\displaystyle \|f\|_{L^{p,q}}={\begin{cases}\left(\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left(t^{\frac {1}{p}}f^{\ast }(t)\right)^{q}\,{\frac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}&q\in (0,\infty ),\\\sup \limits _{t>0}\,t^{\frac {1}{p}}f^{\ast }(t)&q=\infty .\end{cases}}}$

Les espaces de Lorentz généralisent la notion d'espace ${\displaystyle L^{p}}$ au sens où, pour tout ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle L^{p,p}=L^{p}}$. De plus, l'espace ${\displaystyle L^{p,\infty }}$ coïncide avec l'espace ${\displaystyle L^{p}}$ faible (espace de Marcinkiewicz). Ce sont des espaces quasi-Banach (c'est-à-dire des espaces quasi-normés qui sont aussi complets) et sont normables pour ${\displaystyle 1<p<\infty }$ et ${\displaystyle 1\leq q\leq \infty }$ . Lorsque ${\displaystyle p=1}$, ${\displaystyle L^{1,1}=L^{1}}$ est muni d'une norme, mais il n'est pas possible de définir une norme équivalente à la quasi-norme de ${\displaystyle L^{1,\infty }}$. En effet, si l'on définit les fonctions ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle g}$

${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}\chi _{(0,1)}(x)\quad {\text{et}}\quad g(x)={\tfrac {1}{1-x}}\chi _{(0,1)}(x),}$

dont la quasi-norme ${\displaystyle L^{1,\infty }}$ vaut 1, alors que la quasi-norme de leur somme ${\displaystyle f+g}$ vaut 4.

L'espace ${\displaystyle L^{p,q}}$ est inclus dans ${\displaystyle L^{p,r}}$ dès que ${\displaystyle q<r}$ . Les espaces de Lorentz sont des espaces d'interpolation entre ${\displaystyle L^{1}}$ et ${\displaystyle L^{\infty }}$ .

Si ${\displaystyle (X,\mu )}$ est un espace de mesure σ-fini non atomique, alors

1. ${\displaystyle (L^{p,q})^{*}=\{0\}}$ pour ${\displaystyle 0<p<1}$, ou ${\displaystyle 1=p<q<\infty }$ ;
2. ${\displaystyle (L^{p,q})^{*}=L^{p',q'}}$ pour ${\displaystyle 1<p<\infty ,0<q\leq \infty }$, ou ${\displaystyle 0<q\leq p=1}$ ;
3. ${\displaystyle (L^{p,\infty })^{*}\neq \{0\}}$ pour ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$.

où ${\displaystyle p'}$ et ${\displaystyle q'}$ sont les exposants conjugués de ${\displaystyle p}$ et ${\displaystyle q}$. On a par exemple ${\displaystyle p'=p/(p-1)}$ pour ${\displaystyle 1<p<\infty }$, ${\displaystyle p'=\infty }$ pour ${\displaystyle 0<p\leq 1}$, et ${\displaystyle \infty '=1}$ .

${\displaystyle \|fg\|_{L^{p,q}}\leq A_{p_{1},p_{2},q_{1},q_{2}}\|f\|_{L^{p_{1},q_{1}}}\|g\|_{L^{p_{2},q_{2}}}}$ où ${\displaystyle 0<p,p_{1},p_{2}<\infty }$, ${\displaystyle 0<q,q_{1},q_{2}\leq \infty }$, ${\displaystyle 1/p=1/p_{1}+1/p_{2}}$, et ${\displaystyle 1/q=1/q_{1}+1/q_{2}}$ .

Les éléments suivants sont équivalents pour ${\displaystyle 0<p\leq \infty ,1\leq q\leq \infty }$ .

1. ${\displaystyle \|f\|_{L^{p,q}}\leq A_{p,q}C}$ .
2. ${\displaystyle f=\textstyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }f_{n}}$ où ${\displaystyle f_{n}}$ a un support disjoint avec la mesure ${\displaystyle \leq 2^{n}}$, ${\displaystyle 0\leq H_{n+1}\leq |f_{n}|\leq H_{n}}$ presque partout dans le support de ${\displaystyle f_{n}}$, et ${\displaystyle \|H_{n}2^{n/p}\|_{\ell ^{q}(\mathbb {Z} )}\leq A_{p,q}C}$ .
3. ${\displaystyle |f|\leq \textstyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }H_{n}\chi _{E_{n}}}$ presque partout où ${\displaystyle \mu (E_{n})\leq A_{p,q}'2^{n}}$ et ${\displaystyle \|H_{n}2^{n/p}\|_{\ell ^{q}(\mathbb {Z} )}\leq A_{p,q}C}$ .