Inégalité de Gauss

En théorie des probabilités, l'inégalité de Gauss donne une borne supérieure à la probabilité qu'une variable aléatoire unimodale se trouve à plus d'une distance donnée de son mode.

Soit X une variable aléatoire unimodale de mode m, et soit τ² soit l'espérance de (X − m) ². (τ² peut également être exprimée comme (μ − m)² + σ², où μ et σ sont la moyenne et l'écart type de X). Alors pour toute valeur positive de k,

${\displaystyle \mathbb {P} (|X-m|>k)\leq {\begin{cases}\left({\frac {2\tau }{3k}}\right)^{2}&{\text{si }}k\geq {\frac {2\tau }{\sqrt {3}}}\\[6pt]1-{\frac {k}{\tau {\sqrt {3}}}}&{\text{si }}0\leq k\leq {\frac {2\tau }{\sqrt {3}}}.\end{cases}}}$

Le théorème a été démontré pour la première fois par Carl Friedrich Gauss en 1823.

La borne donnée par l'inégalité de Gauss est plus forte que celle de l'inégalité de Beinaymé-Tchebychev, mais elle possède deux inconvénients majeurs : la borne inférieure dans l'inégalité de Gauss n'est valide que sous des conditions très strictes et elle impose de connaitre la valeur, pour ${\displaystyle a>0}$ donné, si la valeur de ${\displaystyle \mathbb {P} (|X|>a\sigma _{X})}$ est supérieure ou inféireure a 2/3^[1].

Winkler a étendu en 1866 l'inégalité de Gauss aux moments d'ordre r > 0 et la distribution est unimodale avec un mode en zéro. C'est ce qu'on appelle parfois l'inégalité de Camp-Meidell^[2],[3].

${\displaystyle \mathbb {P} (|X|\geq k)\leq \left({\frac {r}{r+1}}\right)^{r}{\frac {\mathbb {E} (|X|)^{r}}{k^{r}}}\quad {\text{si}}\quad k^{r}\geq {\frac {r^{r}}{(r+1)^{r+1}}}\mathbb {E} (|X|^{r}),}$

${\displaystyle \mathbb {P} (|X|\geq k)\leq \left(1-\left[{\frac {k^{r}}{(r+1)\mathbb {E} (|X|)^{r}}}\right]^{1/r}\right)\quad {\text{si}}\quad k^{r}\leq {\frac {r^{r}}{(r+1)^{r+1}}}\mathbb {E} (|X|^{r}).}$

La borne de Gauss a été ultérieurement affinée et étendue pour s'appliquer aux écarts à la moyenne plutôt qu'au mode grâce à l'inégalité de Vysochanskiï-Petunin. Cette dernière a été étendue par Dharmadhikari et Joag-Dev ^[4]

${\displaystyle \mathbb {P} (|X|>k)\leq \max \left(\left[{\frac {r}{(r+1)k}}\right]^{r}\mathbb {E} |X^{r}|,{\frac {s}{(s-1)k^{r}}}\mathbb {E} |X^{r}|-{\frac {1}{s-1}}\right)}$

où s est une constante satisfaisant à la fois s > r + 1 et s(s − l − 1)= r^r et l > 0.

On peut montrer que ces inégalités sont les meilleures possibles et qu’un affinement supplémentaire des limites nécessite que des restrictions supplémentaires soient placées sur les distributions.

• l'inégalité de Vysochanskiï-Petunin, un résultat similaire pour la distance à la moyenne plutôt que pour le mode
• l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev concerne la distance à la moyenne sans nécessiter l'unimodalité
• Inégalités de concentration – un résumé des limites de queue sur les variables aléatoires.

• (la) C. F. Gauss, « Theoria Combinationis Observationum Erroribus Minimis Obnoxiae, Pars Prior », Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores, vol. 5,‎ 1823
• (en) Graham Upton et Ian Cook, A Dictionary of Statistics, Oxford University Press, 2008 (lire en ligne), « Gauss inequality »
• (en) T.M. Sellke et S.H. Sellke, « Chebyshev inequalities for unimodal distributions », American Statistician, American Statistical Association, vol. 51, n^o 1,‎ 1997, p. 34–40 (DOI 10.2307/2684690, JSTOR 2684690)
• (en) F. Pukelsheim, « The Three Sigma Rule », American Statistician, American Statistical Association, vol. 48, n^o 2,‎ 1994, p. 88–91 (DOI 10.2307/2684253, JSTOR 2684253)

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