Nombre complexe duel

Les nombres complexes duels forment un ensemble noté ${\displaystyle \mathbb {C} }$ qui étend l'ensemble des nombres réels ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Cet ensemble contient deux unités particulières :

• l’unité imaginaire ${\displaystyle i}$, vérifiant ${\displaystyle i^{2}=-1}$,
• et l’unité duel ${\displaystyle \varepsilon }$, telle que ${\displaystyle \varepsilon ^{2}=0}$ et ${\displaystyle \varepsilon \neq 0}$.

Un nombre complexe duel ${\displaystyle \omega \in \mathbb {C} }$ s’écrit de manière unique sous la forme :

${\displaystyle \omega =a+bi+c\varepsilon +di\varepsilon }$,

où ${\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {R} }$.

L’ensemble ${\displaystyle \mathbb {C} }$ est muni de l’addition et de la multiplication, définies comme dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$ et compatibles avec les règles sur ${\displaystyle i}$ et ${\displaystyle \varepsilon }$.

On appelle cette écriture la forme algébrique de ${\displaystyle \omega }$ :

• ${\displaystyle a}$ : partie réelle, notée ${\displaystyle \operatorname {Re} (\omega )}$
• ${\displaystyle b}$ : partie imaginaire, notée ${\displaystyle \operatorname {Im} (\omega )}$
• ${\displaystyle c}$ : partie duel, notée ${\displaystyle \operatorname {Du} (\omega )}$
• ${\displaystyle d}$ : partie imaginaire duel, notée ${\displaystyle \operatorname {Id} (\omega )}$

• Si ${\displaystyle \operatorname {Im} (\omega )=\operatorname {Du} (\omega )=\operatorname {Id} (\omega )=0}$, alors ${\displaystyle \omega }$ est un réel.
• Si ${\displaystyle \operatorname {Re} (\omega )=\operatorname {Du} (\omega )=\operatorname {Id} (\omega )=0}$, alors ${\displaystyle \omega }$ est un imaginaire pur.
• Si ${\displaystyle \operatorname {Re} (\omega )=\operatorname {Im} (\omega )=\operatorname {Id} (\omega )=0}$, alors ${\displaystyle \omega }$ est un duel pur.
• Si ${\displaystyle \operatorname {Re} (\omega )=\operatorname {Im} (\omega )=\operatorname {Du} (\omega )=0}$, alors ${\displaystyle \omega }$ est un imaginaire duel pur.

Le nombre ${\displaystyle 0}$ est le seul nombre complexe duel à être à la fois réel, imaginaire pur, duel pur et imaginaire duel pur.

Deux nombres complexes duels ${\displaystyle \omega _{1}}$ et ${\displaystyle \omega _{2}}$ sont égaux si et seulement si leurs parties correspondantes sont égales :

${\displaystyle \omega _{1}=\omega _{2}\iff a_{1}=a_{2},\;b_{1}=b_{2},\;c_{1}=c_{2},\;d_{1}=d_{2}}$

Un nombre complexe duel est nul si ses quatre composantes sont nulles :

${\displaystyle \omega =0\iff \operatorname {Re} (\omega )=\operatorname {Im} (\omega )=\operatorname {Du} (\omega )=\operatorname {Id} (\omega )=0}$

• Conjugué complexe :

${\displaystyle \omega ^{\dagger _{1}}=a-bi+c\varepsilon -di\varepsilon }$

• Conjugué duel :

${\displaystyle \omega ^{\dagger _{2}}=a+bi-c\varepsilon -di\varepsilon }$

• Conjugué couplé :

${\displaystyle \omega ^{\dagger _{3}}=a-bi-c\varepsilon +di\varepsilon }$

• Somme :

${\displaystyle \omega _{1}+\omega _{2}=(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})i+(c_{1}+c_{2})\varepsilon +(d_{1}+d_{2})i\varepsilon }$

• Multiplication par un réel ${\displaystyle k}$ :

${\displaystyle k\cdot \omega =ka+kbi+kc\varepsilon +kdi\varepsilon }$

• Produit de deux complexes duels :

${\displaystyle {\begin{aligned}(a_{1}+b_{1}i+c_{1}\varepsilon +d_{1}i\varepsilon )(a_{2}+b_{2}i+c_{2}\varepsilon +d_{2}i\varepsilon )={}&(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})i\\&+(a_{1}c_{2}+a_{2}c_{1}-b_{1}d_{2}-b_{2}d_{1})\varepsilon \\&+(a_{1}d_{2}+a_{2}d_{1}+b_{1}c_{2}+b_{2}c_{1})i\varepsilon \end{aligned}}}$

• Opposé :

${\displaystyle -\omega =-a-bi-c\varepsilon -di\varepsilon }$

• Inverse :

Soit ${\displaystyle \omega =a+bi+c\varepsilon +di\varepsilon }$, avec ${\displaystyle a^{2}+b^{2}\neq 0}$.

L’inverse de ${\displaystyle \omega }$, noté ${\displaystyle \omega ^{-1}}$, est donné par :

${\displaystyle \omega ^{-1}={\frac {a^{3}+ab^{2}}{D}}+{\frac {-a^{2}b-b^{3}}{D}}i+{\frac {-c(a^{2}-b^{2})-2abd}{D}}\varepsilon +{\frac {d(b^{2}-a^{2})+2abc}{D}}i\varepsilon }$

avec :

${\displaystyle D=a^{4}+b^{4}+2a^{2}b^{2}}$

Cette expression est obtenue à partir de la formule :

${\displaystyle \omega ^{-1}={\frac {\omega ^{\dagger _{2}}}{\omega \cdot \omega ^{\dagger _{2}}}}}$

où le conjugué duel est :

${\displaystyle \omega ^{\dagger _{2}}=a+bi-c\varepsilon -di\varepsilon }$

et le produit :

${\displaystyle \omega \cdot \omega ^{\dagger _{2}}=(a^{2}-b^{2})+2abi}$

Pour éliminer la partie imaginaire au dénominateur, on multiplie par le conjugué complexe de ${\displaystyle \omega \cdot \omega ^{\dagger _{2}}}$ :

${\displaystyle z=(a^{2}-b^{2})+2abi\quad \Rightarrow \quad z^{*}=(a^{2}-b^{2})-2abi}$

ce qui donne le dénominateur final :

${\displaystyle D=z\cdot z^{*}=(a^{2}-b^{2})^{2}+4a^{2}b^{2}=a^{4}+b^{4}+2a^{2}b^{2}}$

• (en) Farid Messelmi, « DUAL-COMPLEX NUMBERS AND THEIR HOLOMORPHIC FUNCTIONS », sur HAL, 2015

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