Problème de Fagnano

Le problème de Fagnano, encore appelé « problème du triangle de Schwarz », est un célèbre problème de géométrie euclidienne résolu par le mathématicien italien Giulio Fagnano (1682-1766) et son fils Giovanni Fagnano (en) (1715-1797)^[1] :

Peut-on inscrire un triangle de périmètre minimal dans un triangle acutangle donné ?

Soit ABC le triangle donné. On cherche les points ${\displaystyle M,N,P}$ sur les côtés ${\displaystyle [BC],[AC],[AB]}$ respectivement, de sorte que le périmètre de MNP soit minimal.

On considère dans un premier temps une version plus simple du problème. On fixe un point ${\displaystyle P}$ arbitraire sur ${\displaystyle (AB)}$, afin de déterminer les points ${\displaystyle M}$ et ${\displaystyle N}$ sur ${\displaystyle (BC)}$ et ${\displaystyle (AC)}$ respectivement, tels que MNP soit de périmètre minimal (ce minimum dépendra du choix de ${\displaystyle P}$). Soit P₁ l'image de ${\displaystyle P}$ par la réflexion d'axe ${\displaystyle (BC)}$ et P₂ d'axe ${\displaystyle (AC)}$. Alors CP₁ = CP₂, ${\displaystyle {\widehat {P_{1}CB}}={\widehat {PCB}}}$ et ${\displaystyle {\widehat {P_{2}CA}}={\widehat {PCA}}}$. En posant ${\displaystyle \gamma ={\widehat {BCA}}}$, on en déduit ${\displaystyle {\widehat {P_{1}CP_{2}}}=2\gamma }$. De plus, 2γ < 180°, puisque γ < 90°, par définition. Par conséquent, la droite (P₁P₂) coupe les côtés ${\displaystyle [BC]}$ et ${\displaystyle [AC]}$ de ABC aux points ${\displaystyle M}$ et ${\displaystyle N}$ respectivement et le périmètre de MNP est égal à la distance P₁P₂. D'une manière analogue, si ${\displaystyle Z}$ est un point quelconque sur ${\displaystyle [BC]}$ et ${\displaystyle Y}$ un point quelconque sur ${\displaystyle [AC]}$, le périmètre de ZPY est égal à la longueur de la ligne brisée P₁ZYP₂, qui est supérieure ou égale à P₁P₂. Ainsi, le périmètre de ZPY est supérieur ou égal au périmètre de PMN et l'égalité a lieu précisément lorsque ${\displaystyle Z=M}$ et ${\displaystyle Y=N}$.

Ainsi, il faut trouver un point ${\displaystyle P}$ de ${\displaystyle [AB]}$ de sorte que [P₁P₂] soit de longueur minimale. On remarque que ce segment est la base d'un triangle isocèle P₂P₁C avec comme angle constant 2γ au point ${\displaystyle C}$ et comme côtés CP₁ = CP₂ = CP. Ainsi, il faut choisir ${\displaystyle P}$ sur ${\displaystyle [AB]}$ de sorte que CP₁ = CP soit minimal. Il est évident que ce minimum est obtenu lorsque ${\displaystyle P}$ est le pied de la hauteur issue de ${\displaystyle C}$.

Remarquons maintenant que si ${\displaystyle P}$ est le pied de la hauteur issue de ${\displaystyle C}$, alors ${\displaystyle M}$ et ${\displaystyle N}$ sont les pieds des deux autres hauteurs de ABC. Pour prouver cette assertion, notons M₁ et N₁ les pieds des hauteurs de ABC passant par ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ respectivement. Alors

${\displaystyle {\widehat {BM_{1}P_{1}}}={\widehat {BM_{1}P}}={\widehat {BAC}}={\widehat {CM_{1}N_{1}}},}$

ce qui montre que le point P₁ appartient à la droite (M₁N₁). D'une manière analogue, P₂ appartient à la droite (M₁N₁) et donc M = M₁ et N = N₁.

En conclusion, de tous les triangles inscrits à ABC, celui de périmètre minimal est celui dont les sommets sont les pieds des hauteurs issues de ABC^[2].

La valeur du périmètre de ce triangle est donnée dans l'article sur le triangle orthique.

Lorsque ABC est obtusangle, le triangle ${\displaystyle MNP}$ est tel que ${\displaystyle M,N}$ sont confondus avec ${\displaystyle C}$, et ${\displaystyle P}$ est le pied de la hauteur issue de ${\displaystyle C}$. Dans ce cas, on dit que MNP est dégénéré.

• (en) Hans Rademacher et Otto Toeplitz, The Enjoyment of Math, PUP, 1994 (lire en ligne), p. 30
• (en) Nguyen Minh Ha, « Another Proof of Fagnano’s Inequality », Forum Geometricorum, vol. 4,‎ 2004, p. 199–201 (ISSN 1534-1178, lire en ligne)

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