Système de coordonnées toroïdales

Les surfaces de constante ${\displaystyle \sigma }$ correspondent à des sphères de rayons différents :

${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)+\left(z-a\cot \sigma \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\sigma }}}$

qui passent toutes par l'anneau focal mais ne sont pas concentriques.

Les surfaces de constante ${\displaystyle \tau }$ sont des tores non intersectants de rayons différents :

${\displaystyle z^{2}+\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-a\coth \tau \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}}$

qui entourent l'anneau focal. Les centres des sphères de constante ${\displaystyle \sigma }$ se trouvent le long de l'axe ${\displaystyle z}$, tandis que les centres des tores de constante ${\displaystyle \tau }$ se trouvent dans le plan ${\displaystyle xy}$.

Les facteurs d'échelle pour les coordonnées toroïdales ${\displaystyle \sigma }$ et ${\displaystyle \tau }$ sont égaux :

${\displaystyle h_{\sigma }=h_{\tau }={\frac {a}{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$

tandis que le facteur d'échelle azimutal est :

${\displaystyle h_{\phi }={\frac {a\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$

Ainsi, l'élément infinitésimal de volume est donné par :

${\displaystyle dV={\frac {a^{3}\sinh \tau }{\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}}\,d\sigma \,d\tau \,d\phi }$

L'équation à trois variables équation de Laplace

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi =0}$

admet une solution par séparation des variables dans les coordonnées toroïdales. En faisant la substitution

${\displaystyle \Phi =U{\sqrt {\cosh \tau -\cos \sigma }}}$,

une équation séparable est obtenue. Une solution particulière obtenue par séparation des variables est :

${\displaystyle \Phi ={\sqrt {\cosh \tau -\cos \sigma }}\,\,S_{\nu }(\sigma )T_{\mu \nu }(\tau )V_{\mu }(\phi )}$

où chaque fonction est une combinaison linéaire de :

${\displaystyle S_{\nu }(\sigma )=e^{i\nu \sigma }\,\,\,\,\mathrm {et} \,\,\,\,e^{-i\nu \sigma }}$

${\displaystyle T_{\mu \nu }(\tau )=P_{\nu -1/2}^{\mu }(\cosh \tau )\,\,\,\,\mathrm {et} \,\,\,\,Q_{\nu -1/2}^{\mu }(\cosh \tau )}$

${\displaystyle V_{\mu }(\phi )=e^{i\mu \phi }\,\,\,\,\mathrm {et} \,\,\,\,e^{-i\mu \phi }}$

où P et Q sont les fonctions de Legendre associées de premier et second type. Ces fonctions de Legendre sont souvent appelées harmoniques toroïdales.

Les harmoniques toroïdales ont de nombreuses propriétés intéressantes. Si vous faites un changement de variable ${\displaystyle z=\cosh \tau >1}$, alors, par exemple, avec un ordre nul ${\displaystyle \mu =0}$ (la convention est de ne pas écrire l'ordre lorsqu'il est nul) et ${\displaystyle \nu =0}$ :

${\displaystyle Q_{-{\frac {1}{2}}}(z)={\sqrt {\frac {2}{1+z}}}K\left({\sqrt {\frac {2}{1+z}}}\right)}$

et :

${\displaystyle P_{-{\frac {1}{2}}}(z)={\frac {2}{\pi }}{\sqrt {\frac {2}{1+z}}}K\left({\sqrt {\frac {z-1}{z+1}}}\right)}$

où ${\displaystyle \,\!K}$ et ${\displaystyle \,\!E}$ sont les intégrales elliptiques complètes du premier et second type respectivement. Le reste des harmoniques toroïdales peut être obtenu, par exemple, en termes d'intégrales elliptiques complètes, en utilisant les relations de récurrence pour les fonctions de Legendre associées.

Les applications classiques des coordonnées toroïdales sont dans la résolution des équations aux dérivées partielles, par exemple, l'équation de Laplace pour laquelle les coordonnées toroïdales permettent une séparation des variables ou l'équation de Helmholtz, pour laquelle les coordonnées toroïdales ne permettent pas une séparation des variables. Des exemples typiques seraient le potentiel électrique et le champ électrique d'un tore conducteur, ou dans le cas dégénéré, un anneau de courant électrique (Hulme 1982).

Alternativement, une autre substitution peut être effectuée (Andrews 2006) :

${\displaystyle \Phi ={\frac {U}{\sqrt {\rho }}}}$

où :

${\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\frac {a\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$.

Encore une fois, une équation séparable est obtenue. Une solution particulière obtenue par séparation des variables est alors :

${\displaystyle \Phi ={\frac {a}{\sqrt {\rho }}}\,\,S_{\nu }(\sigma )T_{\mu \nu }(\tau )V_{\mu }(\phi )}$

où chaque fonction est une combinaison linéaire de :

${\displaystyle S_{\nu }(\sigma )=e^{i\nu \sigma }\,\,\,\,\mathrm {et} \,\,\,\,e^{-i\nu \sigma }}$

${\displaystyle T_{\mu \nu }(\tau )=P_{\mu -1/2}^{\nu }(\coth \tau )\,\,\,\,\mathrm {et} \,\,\,\,Q_{\mu -1/2}^{\nu }(\coth \tau )}$

${\displaystyle V_{\mu }(\phi )=e^{i\mu \phi }\,\,\,\,\mathrm {et} \,\,\,\,e^{-i\mu \phi }}$.

Bien que les harmoniques toroïdales soient à nouveau utilisées pour la fonction T, l'argument est ${\displaystyle \coth \tau }$ plutôt que ${\displaystyle \cosh \tau }$ et les indices ${\displaystyle \mu }$ et ${\displaystyle \nu }$ sont échangés. Cette méthode est utile pour les situations où les conditions aux limites sont indépendantes de l'angle sphérique ${\displaystyle \theta }$, telles que l'anneau chargé, un plan infini, ou deux plans parallèles. Pour les identités reliant les harmoniques toroïdales avec l'argument hyperbolique cosinus et celles de l'argument hyperbolique cotangent, voir les formules de Whipple.

 : document utilisé comme source pour la rédaction de cet article.

• Byerly, W E. (1893) An elementary treatise on Fourier's series and spherical, cylindrical, and ellipsoidal harmonics, with applications to problems in mathematical physics Ginn & co. pp. 264–266
• Arfken G, Mathematical Methods for Physicists, Orlando, FL, Academic Press, 1970, 2nd éd., 112–115 p.
• Mark Andrews, « Alternative separation of Laplace's equation in toroidal coordinates and its application to electrostatics », Journal of Electrostatics, vol. 64, n^o 10,‎ 2006, p. 664–672 (DOI 10.1016/j.elstat.2005.11.005, CiteSeer^x 10.1.1.205.5658)
• A. Hulme, « A note on the magnetic scalar potential of an electric current-ring », Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, vol. 92, n^o 1,‎ 1982, p. 183–191 (DOI 10.1017/S0305004100059831, Bibcode 1982MPCPS..92..183H)
• Morse P M, Feshbach H, Methods of Theoretical Physics, Part I, New York, McGraw–Hill, 1953, p. 666
• Korn G A, Korn T M, Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, New York, McGraw-Hill, 1961 (LCCN 59014456), p. 182
• Margenau H, Murphy G M, The Mathematics of Physics and Chemistry, New York, D. van Nostrand, 1956, 190–192 (LCCN 55010911, lire en ligne )
• Moon P H, Spencer D E, Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions, New York, Springer Verlag, 1988, 2nd ed., 3rd revised printing éd., 112–115 (Section IV, E4Ry) (ISBN 978-0-387-02732-6), « Toroidal Coordinates (η, θ, ψ) »

• MathWorld description of toroidal coordinates

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