Théorème de Zermelo (théorie des jeux)

En théorie des jeux, le théorème de Zermelo, du nom du mathématicien allemand Ernst Zermelo, énonce que dans tout jeu tour à tour, fini, à deux joueurs, à information parfaite, et sans hasard, sans match nul, l'un des deux joueurs a une stratégie gagnante[1].

Exemple

Si on souhaite appliquer ce théorème à un jeu, il faut vérifier qu'il satisfait bien les critères suivants : il y a deux joueurs dans le jeu, le jeu est à information parfaite, c'est-à-dire que chacun des joueurs a une connaissance complète de l'état du jeu et des coups joués, le plateau de jeu est fini, les deux joueurs jouent alternativement et il n'y a pas d'élément de hasard présent. Zermelo a déclaré qu'il existait de nombreux jeux de ce type, mais son théorème a surtout été appliqué au jeu des échecs.

En effet, les échecs vérifient toutes les conditions, le théorème de Zermelo affirme donc que « soit le joueur blanc a une stratégie gagnante, soit le joueur noir a une stratégie pour gagner ou mener à un match nul[2],[3] ».

Démonstration

Le théorème de Zermelo peut se démontrer par récurrence sur la hauteur de l'arbre du jeu.

Extension

Le théorème de Zermelo s'étend à l'accessibilité sur un graphe fini, via l'algorithme de l'attracteur[réf. nécessaire].

Notes et références

  1. ↑ « Über eine Anwendung der Mengenlehre auf die Theorie des Schachspiels | Association des amis de la Bibliothèque nationale de France », sur sciences.amisbnf.org (consulté le )
  2. ↑ John MacQuarrie, « Mathematics and Chess »
  3. ↑ R. J. Aumann, Lectures on Game Theory, Boulder, CO, Westview Press, , p. 1
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